Question

已知橢圓以坐標原點為中心，坐標軸為對稱軸，且橢圓以拋物線y²=16x的焦點為其一個焦點，以雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的焦點為頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知點A（-1，0），B（1，0），且C，D分別為橢圓的上頂點和右頂點，點P是線段CD上的動點，求

AP

•

BP

的取值范圍．
（3）試問在圓x²+y²=a²上，是否存在一點M，使△F₁MF₂的面積S=b²（其中a為橢圓的半長軸長，b為橢圓的半短軸長，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點），若存在，求tan∠F₁MF₂的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線y²=16x的焦點和雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的焦點，就可求出a，c進而求出橢圓的標準方程；
（2）先求出線段CD的方程，設出點P的坐標，找到

AP

•

BP

的表達式．再利用圖象求出

AP

•

BP

的取值范圍即可．
（3）先利用（1）的結論以及△F₁MF₂的面積求出圓的方程和點M的縱坐標，再把tan∠F₁MF₂的轉化為兩直線傾斜角的差，利用兩角差的正切公式以及點M的坐標與圓的關系求出tan∠F₁MF₂的值即可．

解答：解：（1）因為拋物線y²=16x的焦點和雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的焦點分別為（4，0）和（5，0）．
所以a=5，c=4
所以橢圓的標準方程：

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）設P（x₀，y₀），則

AP

•

BP

=

x

2 0

+

y

2 0

-1；
CD：3x+5y-15=0（0≤x≤5）
則當OP⊥CD時，取到最小值，即：d1=

|-15|

32+52

=

15 34

34

；
當P在D點時，取到最大值：OD=5
所以：

191

34

≤

AP

•

BP

≤24．
（3）如圖所示：
由第一問可知，圓的方程為x²+y²=25．△F₁MF₂的面積S=b²=9．
設M（x，y）．又△F₁MF₂的面積S=b²=9=

1

2

×2×4×y?4y=9，
又F₁（-4，0）F₂（4，0）．設直線MF₂的傾斜角為α，直線MF₁的傾斜角為β，
則tan∠F₁MF₂=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

y x-4 - y x+4

1+ y x-4 • y x+4

=

8y

x2+y2-16

=

18

25-16

=2．
即tan∠F₁MF₂的值2．

點評：本題是對橢圓，圓，拋物線以及向量等知識的綜合考查．在平時做題過程中，圓錐曲線只要出大題，一般多放在最后一題，或倒數第二題，是不易得分的題．