Question

求下列函數的值域：
(1) y＝x－；
(2) y＝x²－2x－3，x∈(－1，4]；
(3) y＝，x∈[3，5]；
(4) y＝ (x>1)．

Answer 1

（1）（2）[－4，5]．（3）（4）[2－2，＋∞)．

(1) (換元法)設＝t，t≥0，則y＝ (t²＋2)－t＝²－，當t＝時，y有最小值－，故所求函數的值域為.
(2) (配方法)配方，得y＝(x－1)²－4，因為x∈(－1，4]，結合圖象知，所求函數的值域為[－4，5]．
(3) (解法1)由y＝＝2－，結合圖象知，函數在[3，5]上是增函數，所以y_max＝，y_min＝，故所求函數的值域是.
(解法2)由y＝，得x＝.因為x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，
即所求函數的值域是.
(4) (基本不等式法)令t＝x－1，則x＝t＋1(t>0)，
所以y＝＝t＋－2(t>0)．
因為t＋≥2＝2，當且僅當t＝，即x＝＋1時，等號成立，
故所求函數的值域為[2－2，＋∞)．