Question

袋里裝有除編號不同外沒有其它區別的20個球，其編號為n（1≤n≤20，n∈N^*）；對于函數f(x)=

1

3

x2-5x+

65

3

，如果滿足f（n）＞n，其中n為袋里球的編號（1≤n≤20，n∈N^*），則稱該球“超號球”，否則為“保號球”．
（Ⅰ）如果任意取出1球，求該球恰為“超號球”的球概率；
（Ⅱ）（理）如果同時任意取出兩個球，記這兩球中“超號球”的個數為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）任取1個球，共有20個等可能的結果，由

1

3

n2-5n+

65

3

＞n，知“超號球”數為11，由此能求出任意取出1球，該球恰為“超號球”的球概率．
（Ⅱ）同時任意取出兩個球，重球個數ξ可能的值有0、1、2，由題設條件分別求出P（ξ=0），P（ξ=1）和P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）任取1個球，共有20個等可能的結果，
由

1

3

n2-5n+

65

3

＞n，
即n²-18n+65＞0，
所以n＜5或n＞13．
∵1≤n≤20，n∈N^*，
∴滿足條件的n有：1，2，3，4，14，15，16，17，18，19，20，
因此“超號球”數為11，
所以概率為

11

20

．
（Ⅱ）同時任意取出兩個球，重球個數ξ可能的值有0、1、2，
P（ξ=0）=

C 2 9

C 2 20

=

36

190

，
P（ξ=1）=

C 1 11 • C 1 9

C 2 20

=

99

190

，
P（ξ=2）=

C 2 11

C 2 20

=

55

190

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	36 190	99 190	55 190

∴Eξ=0×

36

190

+1×

99

190

+2×

55

190

=

209

190

，
∴Eξ=

209

190

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．