Question

如圖，四棱錐中，，，，平面⊥平面，是線段上一點，，．
（1）證明：⊥平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為.

解析試題分析：（1）要證⊥平面，只須證明與平面內的兩條相交直線垂直即可，對于的證明，只需要根據題中面面垂直的性質及線面垂直的性質即可得出，對于的證明，這需要在平面的直角梯形中根據及得出，進而可得出，問題得以證明；（2）分別以、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標系，進而寫出有效點的坐標，設平面的法向量，由確定該法向量的一個坐標，進而根據線面角的向量計算公式即可得出直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：由已知條件可知：在中，，所以
在中，，所以
所以……①
又因平面⊥平面，面……②
由①②及可得⊥平面
（2）如圖分別以、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標系

則，,,
所以，
設平面的法向量，則有：
即，取，則
設直線直線與平面所成角為，有
所以直線與平面所成角的正弦值為.
考點：1.空間中的垂直關系；2.空間向量在解決空間角中的應用.