Question

平面內動點P到點F(1，0)的距離等于它到直線x＝－1的距離，記點P的軌跡為曲線Γ.

(1)求曲線Γ的方程；

(2)若點A，B，C是Γ上的不同三點，且滿足＋＋＝0，證明：△ABC不可能為直角三角形．

 

Answer 1

（1）y2＝4x（2）不可能是直角三角形

【解析】(1)由條件可知，點P到點F(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，所以點P的軌跡是以F(1，0)為焦點，x＝－1為準線的拋物線，其方程為y2＝4x.

(2)證明：方法一，假設△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則

＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x1，y3－y1)，且·＝0，

所以(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)＝0.

因為xi＝(i＝1，2，3)，y1≠y2，y1≠y3，

所以(y1＋y2)(y1＋y3)＋16＝0.

又因為＋＋＝0，所以x1＋x2＋x3＝3，y1＋y2＋y3＝0，

所以y2y3＝－16，①

又＋＋＝4(x1＋x2＋x3)＝12，

所以(－y2－y3)2＋＋＝12，即＋＋y2y3＝6，②

由①②得＋－16＝6，即－22＋256＝0，③

因為Δ＝(－22)2－4×256＝－540<0.

所以方程③無解，從而△ABC不可能是直角三角形．

方法二，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由＋＋＝0，

得x1＋x2＋x3＝3，y1＋y2＋y3＝0.欲證△ABC不是直角三角形，只需證明∠A≠90°.

(ⅰ)當AB⊥x軸時，x1＝x2，y1＝－y2，從而x3＝3－2x1，y3＝0，

即點C的坐標為(3－2x1，0)．

由于點C在y2＝4x上，所以3－2x1＝0，即x1＝，

此時A，B，C(0，0)，則∠A≠90°.

(ⅱ)當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為x＝ty＋m(t≠0)，代入y2＝4x，整理得y2－4ty－4m＝0，則y1＋y2＝4t.

若∠A＝90°，則直線AC的斜率為－t，同理可得y1＋y3＝－.

由y1＋y2＋y3＝0，得y1＝4t－，y2＝，y3＝－4t.

由x1＋x2＋x3＝3，可得＋＋＝4(x1＋x2＋x3)＝12.

從而＋＋(－4t)2＝12，

整理得t2＋＝，即8t4－11t2＋8＝0，④

Δ＝(－11)2－4×8×8＝－135<0.

所以方程④無解，從而∠A≠90°.

綜合(ⅰ)(ⅱ)可知，△ABC不可能是直角三角形．