Question

已知α、β為銳角，且x(α+β－)＞0,試證不等式f(x)=^x＜2對一切非零實數都成立.

Answer 1

證明略

若x＞0，則α+β＞
∵α、β為銳角，∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜,
∴0＜sin(－α)＜sinβ 0＜sin(－β)＜sinα，
∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,
∴0＜＜1,0＜＜1,
∴f(x)在(0,+∞)上單調遞減，∴f(x)＜f(0)=2 
若x＜0,α+β＜,∵α、β為銳角，
0＜β＜－α＜,0＜α＜－β＜,
0＜sinβ＜sin(－α),
∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin(－β),
∴sinα＜cosβ,∴＞1,＞1,
∵f(x)在(－∞,0）上單調遞增，∴f(x)＜f(0)=2,∴結論成立.