Question

已知B是橢圓=1(a＞b＞0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓右焦點(diǎn)，且BF⊥x軸，B(1,).

（1）求橢圓Ｅ的方程.

（2）設(shè)A₁和A₂是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，直線l垂直于A₁A₂的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Ｄ，|OD|=4,Ｐ是l上異于點(diǎn)Ｄ的任意一點(diǎn)，直線A₁Ｐ交橢圓E于M（不同于A₁、A₂），設(shè)λ=·，求λ的取值范圍.

Answer 1

解:(1)依題意,半焦距c=1,左焦點(diǎn)為F′(-1,0).則2a=|BF|+|BF′|,由B(1,),|BF|=,

由距離公式得|BF′|=，2a=4,a=2.

b²=a²-c²=2²-1=3.∴橢圓Ｅ的方程為+=1.

（2）由(1)知，A₁(-2,0),A₂(2,0).設(shè)M(x₀,y₀),∵M(jìn)在橢圓E上，∴y₀²=(4-x₀²)

由Ｐ、M、A₁三點(diǎn)共線可得Ｐ(4,)，

∴=(x₀-2,y₀)，=(2,).

∴·=2(x₀-2)+=(2-x₀).

∵-2＜x₀＜2，∴λ=·∈(0,10).