Question

（12分）設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列{a_n}的集合：

①   ②，其中n∈N^*，M是與n無關的常數

(1)若{a_n}是等差數列，S_n是其前n項的和，a₃=4，S₃=18，試探究{S_n}與集合W之間的關系；

(2)設數列{b_n}的通項為b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，M的最小值為m，求m的值；

(3)在(2)的條件下，設，求證：數列{C_n}中任意不同的三項都不能成為等比數列．

 

Answer 1

【答案】

 (1) {S_n}W  ；  (2) M的最小值為7； (3) 見解析.

【解析】第一問利用S_n=-n²+9n

  滿足①   當n=4或5時，S_n取最大值20

第二問中b_n+1-b_n=5-2ⁿ 可知{b_n}中最大項是b₃=7

          ∴ M≥7   M的最小值為7              …………8分

第三問中，假設{C_n}中存在三項b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）

成等比數列，則b_q²=b_p­·b_r

∴

∴

∵ p、q、r∈N^*       

∴ p=r與p≠r矛盾

解：(1) S_n=-n²+9n

滿足①

     當n=4或5時，S_n取最大值20

  ∴S_n≤20滿足②   ∴{S_n}∈W          …………4分

  (2) b_n+1-b_n=5-2ⁿ 可知{b_n}中最大項是b₃=7

∴ M≥7   M的最小值為7              …………8分

 (3) ，假設{C_n}中存在三項b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）

         成等比數列，則b_q²=b_p­·b_r

∴

∴

∵ p、q、r∈N^*       

∴ p=r與p≠r矛盾

∴ {C_n}中任意不同的三項都不能成為等比數列   …………12分