Question

函數f（x）=ax+ln（2-x）（x＜2），設曲線y=f（x）在點（1，f（1））的切線為l．
（1）若直線l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函數y=f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求切線l：y-a=（2a-2）（x-1）．即l：（2a-2）x-y+（2-a）=0，再根據直線l與圓（x+1）²+y²=1相切有．從而可求a的值；
（2）分類討論，令導數小于0，得函數y=f（x）的單調減區間，令導數大于0，得函數y=f（x）的單調增區間．
解答：解：（1）f（x）=ax²+2㏑（2-x）．f（1）=a．故點（1，f（1））=（1，a）．
求導得：f′（x）=2ax，故f′（1）=2a-2．
故切線l：y-a=（2a-2）（x-1）．即l：（2a-2）x-y+（2-a）=0．
又由題設知，直線l到（-1，0）的距離為1
即有．解得：a=1或；
（2）f′（x）=2ax=，
當a＜0 時，由導數小于0得，因為分子二次項的系數為負，
所以可得函數的單調增區間為；
由導數大于0得減區間
當0≤a≤1時，當x＜2時，f′（x）＜0恒成立，所以函數的單調減區間為 （-∞，2）
當＞a＞1時，由導數小于0得，函數的單調減區間為；
由導數大于0得增區間
當a時，由導數小于0得，函數的單調減區間為；
由導數大于0得增區間
點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查直線與圓相切，考查函數的單調區間．