Question

已知正數列{a_n}的前n項和為S_n，且有S_n=，數列{b_n}是首項為1，公比為的等比數列．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若c=a_nb_n，求：數列{c_n}的前n項和T_n；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用即可得出a_n；利用等比數列的通項公式即可得出b_n；
（2）利用“錯位相減法”即可得出；
（3）利用“放縮法”和“裂項求和”即可得出．
解答：解：（1）由，
當n=1時，，∴a₁=1，
當，
∴，
即（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-2）=0，∵a_n＞0，
∴數列{a_n}是a₁=1，d=2的等差數列
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
∵數列{b_n}是首項為1，公比為的等比數列．
∴=．
（2）c_n=a_nb_n=，T_n=c₁+c₂+…+c_n
，①
，②
①-②得=1+1++…+=-1-=3--，
∴
（3）∵=n²，
當n≥2，，
∴
===．
點評：熟練掌握、等比數列的通項公式、“錯位相減法”、“放縮法”和“裂項求和”等是 解題的 關鍵．