Question

在以下命題中，不正確的個數為（　　）
①|

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|是

a

，

b

共線的充要條件；
②若

a

∥

b

，則存在唯一的實數λ，使

a

=λ

b

；
③對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若

OP

=2

OA

-2

OB

-

OC

，則P，A，B，C四點共面；
④若{

a

，

b

，

c

}為空間的一個基底，則{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}構成空間的另一個基底；
⑤|（

a

•

b

）•

c

|=|

a

|•|

b

|•|

c

|．

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：利用不等式|

a

|-|

b

|≤|

a

+

b

|等號成立的條件判斷①即可；
利用

0

與任意向量共線，來判斷②是否正確；
利用共面向量定理判斷③是否正確；
根據不共面的三個向量可構成空間一個基底，結合共面向量定理，用反證法證明即可；
代入向量數量積公式驗證即可．

解答：解：對①，∵向量

a

、

b

同向時，|

a

|-|

b

|≠|

a

+

b

|，∴只滿足充分性，不滿足必要性，∴①錯誤；
對②，當

a

為零向量時，λ不唯一，∴②錯誤；
對③，∵2-2-1=-1≠1，根據共面向量定理P、A、B、C四點不共面，故③錯誤；
對④，用反證法，若{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}不構成空間的一個基底；
設

a

+

b

=x(

b

+

c

)+(1-x)(

c

+

a

)⇒x

a

=（x-1）

b

+

c

⇒

c

=x

a

+（1-x）

b

，即

a

，

b

，

c

共面，∵{

a

，

b

，

c

}為空間的一個基底，∴④正確；
對⑤，∵|（

a

•

b

）•

c

|=|

a

|×|

b

|×|cos＜

a

，

b

＞|×|

c

|≤|

a

||

b

||

c

|，∴⑤錯誤．
故選B

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查空間向量的共線向量定理、共面向量定理及向量的數量積公式．