Question

雙曲線C與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1有相同的焦點，直線y=

3

x為C的一條漸近線．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A、B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合），當

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，且λ1+λ2=-

8

3

時，求Q點的坐標．

Answer 1

（Ⅰ）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
由橢圓

x2

8

+

y2

4

=1
求得兩焦點為（-2，0），（2，0），
∴對于雙曲線C：c=2，又y=

3

x為雙曲線C的一條漸近線
∴

b

a

=

3

解得a²=1，b²=3，
∴雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1
（Ⅱ）由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設l的方程：y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則Q(-

4

k

，0)
∵

PQ

=λ1

QA

，
∴(-

4

k

，-4)=λ1(x1+

4

k

，y1)．
∴λ1=

- 4 k

x1+ 4 k

=-

4

kx1+4

同理λ₂=-

4

kx2+4

，
所以λ1+λ2=-

4

kx1+4

-

4

kx2+4

=-

8

3

．
即2k²x₁x₂+5k（x₁+x₂）+8=0．（*）
又y=kx+4以及
x2-

y2

3

=1
消去y得（3-k²）x²-8kx-19=0．
當3-k²=0時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，3-k²≠0．
由韋達定理有：
x1+x2=

8k

3-k2

x1x2=-

19

3-k2

代入（*）式得k²=4，k=±2
∴所求Q點的坐標為（±2，0）．