Question

有下列命題：
①若非零向量

a

、

b

，滿足

a

•

b

=0，則一定有

a

⊥

b

；
②將函數y=cos2x的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin（2x-

π

6

）的圖象；
③命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|≥2，則-2＜x＜2”；
④方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是

D

2

+E2-4F≥0；
⑤對于命題p：?x∈R．使得x²+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x²+x+1≥0．
其中假命題的序號是

③④

．

Answer 1

分析：①據課本必修4中的結論：非零向量

a

、

b

，若

a

•

b

=0，則一定有

a

⊥

b

．
②據平移變換的法則：“左加右減”可知，將函數y=cos2x的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=cos[2(x-

π

3

)]，再據誘導公式可進一步化出其表達式．
③命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”．據此可以判斷出③的真假．
④將方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0配方化為(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，可以判斷出④的真假．
⑤對于命題：“?x∈R，結論p成立”，則命題的否定是：“?x∈R，結論p的反面成立”據此可判斷出其真假．

解答：解：①非零向量

a

•

b

=0，則一定有

a

⊥

b

．
②將函數y=cos2x的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=cos[2(x-

π

3

)]=cos(2x-

2π

3

)=cos(

2π

3

-2x)=cos[

π

2

-(2x-

π

6

)]=sin（2x-

π

6

）
的圖象，故②正確．
③命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題應是“若|x|＜2，則-2＜x＜2”，故③不正確．
④∵方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0⇒(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，
∴只有當

D

2

+E2-4F＞0時，方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0才表示一個圓，
因此④不正確．
⑤據命題：“?x∈R，結論p成立”，則命題的否定是：“?x∈R，結論p的反面成立”，
可知“命題p：?x∈R．使得x²+x+＜0，則￢p：?x∈R，均有x²+x+1≥0”正確．
故答案為③④．

點評：本題綜合考查了向量的數量積與垂直的關系、三角函數圖象的變換與誘導公式、四種命題間的關系、圓的方程及命題的否定，解決問題的關鍵是掌握好有關基礎知識及判斷方法．