Question

（2012•河北模擬）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其導函數f'（x）的部分圖象如圖所示，則函數f（x）的解析式為（　　）

• A．f(x)=2sin(

  1

  2

  x+

  π

  4

  )
• B．f(x)=4sin(

  1

  2

  x+

  π

  4

  )
• C．f(x)=2sin(x+

  π

  4

  )
• D．f(x)=4sin(

  1

  2

  x+

  3π

  4

  )

Answer 1

分析：根據題意，先求出f（x）的導函數，再根據導函數的圖象找出導函數的周期，利用周期公式求出ω的值，進而根據導函數的最大值為2，求出A的值，把求出的ω與A的值代入導函數中，再從導函數圖象上找出一個已知點的坐標代入即可求出ψ的值，將A，ω及φ的值代入即可確定出f（x）的解析式，即可得答案．

解答：解：根據題意，對函數f（x）=Asin（ωx+φ）求導，可得f′（x）=ωAcos（ωx+φ），
由導函數的圖象可知：導函數的周期為2[

3π

2

-（-

π

2

）]=4π，
則有T=

2π

ω

=4π，解得ω=

1

2

，
由導函數圖象可得導函數的最大值為2，則有Aω=2，即A=4，
∴導函數f′（x）=2cos（

1

2

x+φ），
把（-

π

2

，2）代入得：4cos（-

π

4

+φ）=2，且|φ|＜

π

2

，
解得φ=

π

4

，
則f（x）=4sin（

1

2

x+

π

4

）．
故選B．

點評：此題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，涉及復合函數的導數的運算；借助導函數圖象中的周期、最值，來確定A，ω及ψ的值是解本題的關鍵．