Question

已知點和圓：．

（Ⅰ）過點的直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程；
（Ⅱ）試探究是否存在這樣的點：是圓內部的整點（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEM的面積？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）方程為：或；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）當所求直線的斜率不存在時，弦長為，符合要求.此時直線方程為：；若斜率在時，可設直線的斜率為，根據點斜式寫出直線方程，求出圓心到直線的距離，再由勾股定理得到：，解得；（Ⅱ）連結,求出圓與軸的兩個交點.并連結,得到，因此要使，那么點必在經過點,且與直線平行的直線上.結合點所在象限，可以求出為.
試題解析：（Ⅰ）當所求直線的斜率不存在時，弦長為，符合要求,此時；
若直線的斜率存在時，設直線的斜率為，那么直線的方程為：.
所以圓心到直線的距離，又因為半徑弦長為.
所以，解得：.
所以所求直線方程為：或；
（Ⅱ）連結，點滿足,
過，作直線的平行線．
∵
∴直線、的方程分別為：
、
設點 （且）
∴
分別解與，得 與
∵∴為偶數，在上對應的
在上，對應的
∴滿足條件的點存在，共有6個，它們的坐標分別為：
．