Question

在△ABC中，B（-2，0），C（2，0），A（x，y），給出△ABC滿足的條件，就能得到動點A的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程： 條件 方程 ①△ABC周長為10 C1：y2=25 ②△ABC面積為10 C2：x2+y2=4(y≠0) ③△ABC中，∠A=90° C3： x2 9 + y2 5 =1(y≠0) 則滿足條件①、②、③的點A軌跡方程按順序分別是（　　）

• A、C₃、C₁、C₂
• B、C₂、C₁、C₃
• C、C₁、C₃、C₂
• D、C₃、C₂、C₁

Answer 1

分析：題目中給出了△ABC的兩個頂點B、C的坐標，當給出周長時，可得到A到B、C兩點的距離和為定值，且定值大于BC的距離，可知A的軌跡為橢圓除去x軸上的兩點；當△ABC的面積為定值10時，可得A到x軸的距離為定值5，從而可得A的軌跡是兩條直線；當△ABC中，∠A=90°時，可知A到原點的距離為定值2，從而得到A的軌跡是圓除去與x軸的兩個交點．

解答：解：如圖，在平面直角坐標系中

∵B（-2，0），C（2，0）．
若①△ABC周長為10，則|AB|+|AC|=6＞4=|BC|，
∴A的軌跡為以B、C為焦點，長軸長為6的橢圓，方程為：

x2

9

+

y2

5

=1(y≠0)；
若②△ABC面積為10，設A到BC所在直線距離為d，則

1

2

×|BC|×d=10，即

1

2

×4d=10，d=5．
∴|y|=5，y²=25．∴A的軌跡方程為：y²=25；
若③△ABC中，∠A=90°，則|OA|=2，即

x2+y2

=2，x²+y²=4（y≠0）．
∴滿足條件①、②、③的點A軌跡方程按順序分別是C₃、C₁、C₂．
故選：A．

點評：本題考查了圓錐曲線的共同特征，考查了橢圓、圓的定義，解答的關鍵是對圓錐曲線定義的理解，屬中檔題．