Question

已知函數f（x）=2^x的定義域是[0，3]，設g（x）=f（2x）-f（x+2）．
（1）求g（x）的解析式及定義域；
（2）求函數g（x）的最大值和最小值．
（3）是否存在實數k，使得k-2f（x）＞g（x）有解，若存在，求出k的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把2x、x+2代入f（x）=2^x中，即可求得g（x）的解析式，利用復合函數定義域的求法可得

0≤2x≤3 0≤x+2≤3

，解此不等式即可求得函數的定義域；
（2）令t=2^x，則可將函數 g（x）=（2^x）²-4•2^x，轉化為一個二次函數，然后根據二次函數在定區間上的最值問題，即可得到g（x）的最大值和最小值；
（3）假設存在實數k，使得k-2f（x）＞g（x）有解，即k＞2f（x）+g（x）有解，構造函數F（x）=2f（x）+g（x）=（2^x）²-2•2^x，（0≤x≤1），利用換元法，轉化為二次函數在定區間上的最值問題，即可求得結果．

解答：解：（1）g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2=（2^x）²-4•2^x，
其定義域須滿足

0≤2x≤3 0≤x+2≤3

，解得0≤x≤1，
∴g（x）=（2^x）²-4•2^x，
函數g（x）的定義域為[0，1]；
（2）∵g（x）=（2^x）²-4•2^x（0≤x≤1），
令t=2^x，
∵0≤x≤1，∴1≤t≤2，
所以有：h（t）=t²-4t=（t-2）²-4（1≤t≤2）
所以：當 t∈[1，2]時，h（t）是減函數，
∴f（x）_min=h（2）=-4，f（x）_max=h（1）=-3；
（3）假設存在實數k，使得k-2f（x）＞g（x）有解，即k＞2f（x）+g（x）有解，
令F（x）=2f（x）+g（x）=（2^x）²-2•2^x，（0≤x≤1），
令t=2^x，
∵0≤x≤1，∴1≤t≤2，
所以有：G（t）=t²-2t=（t-1）²-1（1≤t≤2）
所以：當 t∈[1，2]時，G（t）是增函數，
∴F（x）_min=G（2）=-1
∴k＞-1．

點評：本題只要考查代入法求函數的解析式和復合函數的定義域，以及利用換元法求函數的最值問題，體現了換元的數學方法和轉化的數學思想，特別注意新變量的取值范圍，同時也考查了二次函數在定區間上的最值問題，屬中檔題．