Question

（本小題滿分15分）設為數列的前項和，（為常數且，）.
(Ⅰ)若，求的值；
（Ⅱ）對于滿足（Ⅰ）中的，數列滿足，且.若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）因為，
所以，，.………4分
由可知：.         
所以，，.
因為，  所以.
所以.         ……7分
（Ⅱ）因為，  所以.     
所以，即.…………9分
因為，即.       可得：.     ………10分
因為，且，
所以
. ……………12分
因為不等式對任意恒成立，
所以對任意恒成立. ……………13分
因為，且時，取得最大值，
所以. 所以的取值范圍是.          ………15分

(1)先求出,進而求出,,再根據,建立關于的方程求解即可.
(II)在（I）的基礎上，,然后根據此式，可求得，從而求出,
采用疊加的方法求得,
從而把不等式對任意恒成立轉化為對任意恒成立的常規問題解決.
解：（Ⅰ）因為，
所以，，.………4分
由可知：.         
所以，，.
因為，  所以.
所以.         ……7分
（Ⅱ）因為，  所以.     
所以，即.…………9分
因為，即.       可得：.     ………10分
因為，且，
所以
. ……………12分
因為不等式對任意恒成立，
所以對任意恒成立. ……………13分
因為，且時，取得最大值，
所以. 所以的取值范圍是.          ………15分