Question

已知圓C過定點F（-，0），且與直線x=相切，圓心C的軌跡為E，曲線E與直線l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點．
（I）求曲線E的方程；
（II）當△OAB的面積等于時，求k的值；

Answer 1

【答案】分析：（I）根據題意可知點C到定點（-，0）和直線x=的距離相等，根據拋物線的定義可求得點C的軌跡方程．
（II）把直線與拋物線方程聯立消去x，設出點A，B的坐標，根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，設直線l與x軸的交點為N，則N的坐標可得，進而根據S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN求得k
解答：解：（I）由題意，點C到定點（-，0）和直線x=的距離相等，
所以點C的軌跡方程為y²=-x
（II）由方程組消去x，整理得ky²+y-k=0
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-，y₁y₂=-1
設直線l與x軸的交點為N，則N（-1，0）
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN=|ON||y₁|+|ON||y₂|=•1•=
∵S_△OAB=，求得k=
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對直線與圓錐曲線問題中韋達定理，平面解析幾何的知識等知識的綜合運用．