Question

（09年江蘇百校樣本分析）(16分)已知函數.

   (Ⅰ)當時，判斷函數的單調性并寫出其單調區間；

   (Ⅱ)若函數的圖象與直線至少有一個交點，求實數的取值范圍；

  （Ⅲ）證明對任意的，都有 成立.

Answer 1

解析：(1)當時，，其定義域為，

 ，

∴函數為增函數，單調增區間為，         ………………………2分

   (2) 設，由題意得方程在區間上至少有一解

       ，

         令 得,    　　……………………… 4分

       ① 當時，由得，  由得或

         ∴的單調增區間為，減區間為，

         ∴，∴方程=0無解，　 

       ② 當時，，同上可得方程=0無解　  ……………… 7分

       ③ 當時，可得的單調增區間為，，單調減區間為，

         ∴極大值為 ，∴極小值，

又，

∴方程=0恰好有一解　　　　    …………………… 9分

④ 當時，≥，∴函數為增函數，由上③得方程=0也恰好有一解

⑤ 當時，的單調增區間為，減區間為，同上可得方程=0在上至少有一解                

總上得所求的取值范圍為        …………………………………… 11分

   (3) 法一：由(2)可知得：當，函數在上單調增，

∴ ，即 ，…………… 12分

令，，∴,           ……………… 13分

∴ …

,

∴

即　

∴  所證結論成立.                …………………… 16分

  法二： 令 ＝ ，則

  令，，

         記      ………… 12分

           則

        單調增，                     

又

         ，時，

 即＞0

  增                      ………… 14分

又

        

 ∴  所證結論成立.                …………………… 16分