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設a＞0且a≠1函數f(x)＝，g(x)＝1＋．

(1)求f(x)和g(x)的定義域的公共部分D，并判定f(x)在D內的單調性；

(2)若[m，n]D，且f(x)在[m，n]上的值域恰為[g(n)，g(m)]，證明方程f(x)＝g(x)必有大于3的兩個相異實根，求a的取值范圍．

答案：
解析：

(1)由解出x＞3∴D＝{x|x＞3}

任取，∈D，使3＜＜，設μ(x)＝

則μ()－μ()＝

∵3＜＜，∴μ()－μ()＜0

當0＜a＜1時，

∴f(x)在D上是單調遞減函數．

當a＞1時，f(x)是D上的單調遞增函數．

(2)∵f(x)在[m，n]上的值域是[g(n)，g(m)]

∴g(n)＜g(m)，即＜

∵m＜n，m－1＜n－1，∴0＜a＜1

從而知f(x)在[m，n]上單調遞減．

∴f(m)＝g(m)，f(n)＝g(n)，其中3＜m＜n即方程f(x)＝g(x)有大于3的兩個相異實根

∴＝1＋有大于3的兩個相異實根．

整理知＝a(x－1)(0＜a＜1)

可推得＋(2a－1)x＋3(1－a)＝0有大于3的兩個相異實根(0＜a＜1)

必有

解出0＜a＜．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知奇函數f（x），偶函數g（x）滿足f（x）+g（x）=ax（a＞0且a≠1）．
（1）求證：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）設f（x）的反函數f-1(x)，當a=
2
-1時，比較f-1[g（x）]與-1的大小，證明你的結論；
（3）若a＞1，n∈N*，且n≥2，比較f（n）與nf（1）的大小，并證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•嘉定區三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函數f（x）=ax+k•bx．
（1）如果實數a、b滿足a＞1，ab=1，試判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）設a＞1＞b＞0，k≤0，判斷函數f（x）在R上的單調性并加以證明；
（3）若a=2，b=
12
，且k＞0，問函數f（x）的圖象是不是軸對稱圖形？如果是，求出函數f（x）圖象的對稱軸；如果不是，請說明理由．

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設a＞0且a≠1函數f(x)＝logax在區間[a，2a]上的最大值與最小值之和為3，則a＝________．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知奇函數f（x），偶函數g（x）滿足f（x）+g（x）=ax（a＞0且a≠1）．
（1）求證：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）設f（x）的反函數f-1(x)，當a=
2
-1時，比較f-1[g（x）]與-1的大小，證明你的結論；
（3）若a＞1，n∈N*，且n≥2，比較f（n）與nf（1）的大小，并證明你的結論．

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