Question

設f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇函數．
（1）若a=2，解關于x的不等式
（2）判斷F（x）的單調性，并證明．

Answer 1

解：（1）∵a=2，∴關于x的不等式，
即 ＞，
∴＞＞0，
∴，，，
解得 x＞3，或 0＜x＜1，故不等式的解集為{x|x＞3，或 0＜x＜1 }．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（t-x）= 是奇函數，
故有 F（0）=0=，∴t=1，∴F（x）=．
由 ＞0 解得-1＜x＜1，故F（x）的定義域為（-1，1）．
由于h（x）= 在（-1，1）上單調遞增，故當a＞時，F（x）單調遞增；當0＜a＜1時，F（x）單調遞減．
證明：設-1＜x₁＜x₂＜1，
∵h（x₁）-h（x₂）=-==，
由-1＜x₁＜x₂＜1，可得2x₁-2x₂＜0，（1-x₁）（1-x₂）＞0，
∴＜0，h（x₁）＜h（x₂），故h（x）= 在定義域（-1，1）上單調遞增，
故當a＞時，F（x）單調遞增；當0＜a＜1時，F（x）單調遞減．
分析：（1）由a=2 可得不等式即 ＞，從而得＞＞0，解不等式組求得不等式的解集．
（2）由題意可得F（0）=0=，求得t=1，從而F（x）=，由于h（x）= 在（-1，1）上單調遞增，故當a＞時，F（x）單調遞增；當0＜a＜1時，F（x）單調遞減，利用單調性的定義進行證明．
點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，函數的單調性的判斷和證明，以及函數的奇偶性的應用，屬于中檔題．