Question

（2012•河西區一模）已知平面內點A(cos

x

2

，sin

x

2

)，點B（1，1），

OA

+

OB

=

OC

，f(x)=|

OC

|2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-π，π]，求f（x）的最大和最小值，并求當f（x）取最值時x的值．

Answer 1

分析：（1）先求出

OA

，

OB

，代入

OC

=

OA

+

OB

，根據向量的數量積的性質即可求出f（x）=|

OC

|2，利用同角平方關系進行化簡后，根據正周期公式即可求解
（2）由已知-π≤x≤π可求

x

2

+

π

4

的范圍，結合正弦函數的性質即可求解函數的最值及相應的x

解答：解：（1）由題意知，

OA

=（cos

x

2

，sin

x

2

），

OB

=（1，1）
則

OC

=

OA

+

OB

=（1+cos

x

2

，1+sin

x

2

）
∴f（x）=|

OC

|2=(1+cos

x

2

)2+(1+sin

x

2

)2
=3+2sin

x

2

+2cos

x

2

=3+2

2

sin(

x

2

+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π
（2）∵-π≤x≤π
∴-

π

4

≤

x

2

+

π

4

≤

3π

4

∴-

2

2

≤sin(

x

2

+

π

4

)≤1
∴當x=-π時，函數f（x）有最小值1
當x=

π

2

時，函數有最大值3+2

2

點評：本題 主要考查了向量的數量積的坐標表示的應用及三角函數的化簡，正弦函數的性質等知識的綜合應用