Question

設n是自然數，f_n（x）=（x≠0，±1），令y=x+．
（1）求證：f_n+1（x）=yf_n（x）-f_n-1（x），（n＞1）
（2）用數學歸納法證明：
f_n（x）=．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f_n（x）=，y=x+，代入yf_n（x）-f_n-1（x），化簡即可得證；
（2）先證明命題對n=1，2成立，再設n≤m（m≥2，m為正整數，命題成立，現證命題對于n=m+1成立，分類討論：①m為偶數，則m+1為奇數；②若m為奇數，則m+1為偶數，由歸納假設，即可證得結論．
解答：證明：（1）∵f_n（x）=，y=x+
∴yf_n（x）-f_n-1（x）=（x+）×-==f_n+1（x）
（2）f₁（x）=x+，f₂（x）=x²+1+x^-2=y²-1，故命題對n=1，2成立
設n=m（m≥2，m為正整數，命題成立，現證命題對于n=m+1成立
①m為偶數，則m+1為奇數，由歸納假設知，對于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-+…+…+（-1）ⁱy^m-2i+…+①
f_m-1（x）=y^m-1-+…+（-1）^i-1y^m+1-2i+…+y ②
∴yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1+…+（-1）ⁱy^m+1-2i+…+y
即命題對n=m+1成立．
②若m為奇數，則m+1為偶數，由歸納假設知，對于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-1-+…+…+（-1）ⁱy^m-2i+…+y③
f_m-1（x）=y^m-1-+…+（-1）^i-1y^m+1-2i+…+④
用y乘③減去④，同上合并，并注意最后一項常數項為-=．
于是得到yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1-C_m¹y^m-1+…+，即仍有對于n=m+1，命題成立
綜上所述，知對于一切正整數n，命題成立．
點評：本題考查數學歸納法，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，難度較大．