Question

如圖，△ABC和△A₁AC是正三角形，平面A₁AC⊥底面ABC，A₁B₁⊥∥AB，A₁B₁=AB=2，
（I）求直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值大小；
（II）已知點D是A₁B₁的中點，在平面ABCD內(nèi)擱一點E，使DE⊥平面AB₁C，求點E到AC和B的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形，有已知的面面垂直得到空間中從同一定點出發(fā)的三條兩兩垂直的直線進而建立空間直角坐標系，在利用空間向量知識求出線面角；
（2）由題意及圖形利用線面平行的性質(zhì)進和在三角形中進而求解．

解答：解：∵平面A₁AC⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于點O，
∴A₁O⊥底面ABC．
又A₁B₁=AB=2，△ABC和△A₁AC是正三角形，知∠ABC=∠A₁AC=60°，
∴AO=1，OA1=OB=

3

，BO⊥AC（2分）
故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
則A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，A1(0，

3

，0)，C（0，1，0），

AA1

=(0，1，

3

)．
由

AA1

=

BB1

，可得B1(

3

，1，

3

)．
∴

AB

1=(

3

，2，

3

)，

AC

=(0，2，0)
設平面AB₁C的法向量為

n

=(x，y，1)，則

n • AB1 = 3 x+2y+ 3 =0 n • AC =2y=0

，
解得

n

=(-1，0，1)
由cos＜

AA1

，

n

＞=

AA1 • n

| AA1 |•| n |

=

3

2 2

=

6

4

而AA₁與平面AB₁C所成角，即向量

AA1

與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，
所以直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為

6

4

；

（Ⅱ）連接A₁B，取AC中點O，連接A₁O、BO，
易得A₁O⊥AC，所以AC⊥平面A₁OB，AC⊥A₁B，又四邊形AA₁B₁B是正方形，所以AB₁⊥A₁B，
又A₁B⊥AC，∴A₁B⊥平面AB₁C，過D作DF∥A₁B，
很明顯DF交AB于E，此時點E到AC和B的距離分別是1、

3 3

2

．

點評：（1）此問重點考查了利用空間向量的知識求解線面角的三角函數(shù)值；
（2）此問重點考查了直線與平面平行求解點到線的距離，還考查了在三角形中求解兩點間的距離．