Question

（本題滿分16分）已知在棱長為的正方體中，為棱的中點，為正方形的中心，點分別在直線和上．

 

（1）若分別為棱，的中點，求直線與所成角的余弦值；

（2）若直線與直線垂直相交，求此時線段的長；

（3）在（2）的條件下，求直線與所確定的平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）

【解析】（1）以D為空間直角坐標系的原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，……3分

設與所成的角為，

則

直線與所成角的余弦值為．……………………………………… 5分

  （2）設點，則=，=，=，

       即 

……⑴……………………………………………………………………8分

設直線與直線確定平面，其法向量=，

即，令，得=

設直線與直線確定平面，其法向量=，

即，令，得=

與直線相交，∥  =，……………⑵…………11分

由⑴ ⑵聯立方程組    解得，，

，… 13分

（本小問也可落實三條直線共面的條件得到點坐標）

（3）由（2）得=，平面的法向量=，=

直線與所確定的平面與平面所成的銳二面角的余弦值為

……………………………………………………………………………………… 16分