Question

已知數列{a_n}中，a1為由曲線y=

x

，直線y=x-2及y軸所圍成圖形的面積的

3

32

倍S_n為該數列的前n項和，且S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若不等式an+an+1+an+2+…+a3n＞

a

24

對一切正整數n都成立，求正整數a的最大值，并證明結論．

Answer 1

分析：（1）利用定積分可求得a₁=

1

2

，再利用遞推公式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）當n=1時，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

1+3

=

26

24

＞

a

24

，于是a＜26，據題意取a=25，用數學歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

即可．

解答：解：（1）依題意作圖如下：

∵圖中x軸下方的等腰直角三角形與x軸上方、直線x=4及直線y=x-2組成的等腰直角三角形全等，
∴a₁=

3

32

∫

4 0

x

dx=

3

32

×

2

3

x

3

2

|

|

4 0

=

1

2

，
∵S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n，
∴a_n+1=a_n-a_n•a_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，又a₁=

1

2

，故

1

a1

=2，
，∴{

1

an

}是首項為2，公差為1的等差數列，
∴

1

an

=2+（n-1）×1=n+1，
．∴an=

1

n+1

．
（2）當n=1時，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

1+3

＞

a

24

，即

26

24

＞

a

24

，
所以a＜26，而a是正整數，
所以取a=25，下面用數學歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．
（1）當n=1時，已證；
（2）假設當n=k時，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

．
則當n=k+1時，
有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3(k+1)+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+[

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

]．
因為

1

3k+2

+

1

3k+4

=

6(k+1)

9k2+18k+8

＞

2

3(k+1)

，
所以

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

＞0．
所以當n=k+1時不等式也成立．
由（1）（2）知，對一切正整數n，都有：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．
所以a的最大值等于25．

點評：本題考查數列遞推式，考查數學歸納法，利用定積分求得a₁=

1

2

是應用遞推關系式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n的關鍵，通過數學歸納法的應用，考查推理證明的能力，屬于難題．