Question

（2008•寶坻區一模）下列命題：
（1）若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，θ∈(

π

4

，

π

2

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
（2）若銳角α，β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
（3）若f（x）=sin2xcos2x，則f（x）的最小正周期為

π

2

；
（4）要得到函數y=cos（

x

2

-

π

4

）的圖象只需將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

4

個單位．
其中正確命題的個數有

2

個．

Answer 1

分析：對于①，聯系偶函數和增函數得到函數在[0，1]上為減函數后再解；
對于②，cos α＞sin β要化成同名三角函數；
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，
④函數y=cos（

x

2

-

π

4

）的系數

1

2

要引起特別注意．

解答：解：①由已知可得函數在[0，1]上為減函數，
且由于θ∈（

π

4

，

π

2

）⇒1＞sinθ＞cosθ＞0，
故有f（sinθ）＜f（cosθ），故①錯；
②由已知角的范圍可得：cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β）⇒α＜

π

2

-β⇒α+β＜

π

2

，故②正確；
③易知f（x）=

1

2

sin4x，其周期為

π

2

，故③正確；
④由于函數y=cos（

x

2

-

π

4

）=cos(

π

4

-

x

2

)=sin[

π

2

-(

π

4

-

x

2

)]=sin(

x

2

+

π

4

)=sin

x+ π 2

2

則只要得到函數y=cos（

x

2

-

π

4

）的圖象只需將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

2

個單位得到，故④正確．
故答案為 2

點評：本題是一道綜合題，考查了函數的性質和三角函數中的二倍角公式以及三角函數圖象的變換等．