Question

（本小題滿分13分）設橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，在x軸上有一點B，滿足且F₁為BF₂的中點.

（Ⅰ）求橢圓 C的離心率；

（Ⅱ）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線相切，判斷橢圓C和直線的位置關系.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的離心率． （Ⅱ）直線和橢圓相交．                  

【解析】（I）求出左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A的坐標，通過，且AB⊥AF₂，推出a，b，c的關系，結合a²=b²+c²，即可求橢圓C的離心率；

（II）利用（I）求出過A、B、F₂三點的圓的圓心與半徑，利用圓與直線相切圓心到直線的距離等于半徑，求出a，b，即可求橢圓C的方程．

（Ⅰ）由題意知，，．

因為，所以在中，．             ……2分

又因為為的中點，所以，              ……4分

又，所以．故橢圓的離心率．              ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是，，

的外接圓圓心為，半徑．                     ……8分

所以，解得，所以，．

所以橢圓的標準方程為：．                                       ……11分

由得：，可得，所以直線和橢圓相交．           ……13分