Question

已知函數f（x）滿足f（x）=f（3x），當x∈[1，3），f（x）=lnx，若在區間[1，9）內，函數g（x）=f（x）-ax有三個不同零點，則實數a的取值范圍是（　　）

A．( ln3 3 ， 1 e )

B．( ln3 9 ， 1 3e )

C．( ln3 9 ， 1 2e )

D．( ln3 9 ， ln3 3 )

Answer 1

設x∈[3，9），則

x

3

∈[1，3）
∵x∈[1，3），f（x）=lnx，
∴f（

x

3

）=ln

x

3

，
∵函數f（x）滿足f（x）=f（3x），
∴f（

x

3

）=f（x）=ln

x

3

，
∴f（x）=

lnx，1≤x＜3 ln x 3 ，3≤x＜9

，
∵在區間[1，9）內，函數g（x）=f（x）-ax有三個不同零點，
∴f（x）-ax=0在區間[1，9）上有三個解，即a=

f(x)

x

有三個解，
則y=a與h（x）=

f(x)

x

的圖象有三個交點，
當x∈[1，3），h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
∴當x∈[1，e）時，h′（x）＞0，當x∈（e，3）時，h′（x）＜0即函數h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

在[1，e）上單調遞增，在（e，3）上單調遞減，
∴當x=e處，函數h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

在[1，3）上取最大值

1

e

，
當x∈[3，9），h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

，則h′（x）=

1-ln x 3

x2

=0，解得x=3e，
∴當x∈[3，3e）時，h′（x）＞0，當x∈（3e，9）時，h′（x）＜0即函數h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

在[3，3e）上單調遞增，在（3e，9）上單調遞減，
∴當x=3e處，函數h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

在[3，9）上取最大值

1

3e

，
根據函數的單調性，以及h（1）=0，h（e）=

1

e

，h（3）=0，h（3e）=

1

3e

，h（9）=

ln3

9

，畫出函數的大值圖象，
根據圖象可知y=a與h（x）在[1，3）上一個交點，在[3，3e） 上兩個交點，
∴在區間[1，9）內，函數g（x）=f（x）-ax有三個不同零點，則實數a的取值范圍是（

ln3

9

，

1

3e

）．
故選：B．