Question

已知點（1，

1

3

）是函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）圖象上的一點，等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c，數列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數列{

1

bnbn+1

}的前n項和為T_n，問使T_n＞

1000

2011

的最小正整數n是多少？
（3）若c_n=-

1

2

a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=

1

3

可求得a，從而得f（x），求出a₁，a₂，a₃，根據等比中項公式可求得c值，進而可得公比，求得a_n；由S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

，可得

Sn

-

Sn-1

=1，由等差數列的定義可判斷{

Sn

}}構成等差數列，求出S_n，由S_n與b_n的關系可求得b_n；
（2）利用裂項相消法可求得T_n，進而可解T_n＞

1000

2011

，得到結果；
（3）先表示出c_n，然后利用錯位相減法可求得數列{c_n}的前n項和．

解答：解：（1）∵f（x）=a^x，且f（1）=

1

3

，∴a=

1

3

，
∴f（x）=(

1

3

)x．
∴a₁=f（1）-c=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

．
又數列{a_n}成等比數列，
∴(-

2

9

)2=(

1

3

-c)(-

2

27

)，解得c=1，
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，∴an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-

2

3n

，
由S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

，得（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），
又b_n＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1，
∴數列{

Sn

}}構成一個首項為1公差為1的等差數列，
則

Sn

=n，∴Sn=n2，
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，又該式滿足b₁=c=1，
∴b_n=2n-1；  
（2）T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

     
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
由T_n＞

1000

2011

，得

n

2n+1

＞

1000

2011

，解得n＞

1000

11

，
∴使T_n＞

1000

2011

的最小正整數n是91．
（3）cn=-

1

2

anbn=-

1

2

•（-

2

3n

）•（2n-1）=

2n-1

3n

，
設{c_n}的前n項和為R_n，則R_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

①，

1

3

Rn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-1

3n+1

②，
①-②得，

2

3

Rn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Rn=1-

n+1

3n

．

點評：本題考查了數列與不等式的綜合，考查了數列求和的錯位相減法和列項相消法，是高考數列部分的常見題型，屬中等以上難度問題．