Question

如圖，在長方體中，
，點在棱上移動 

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）當為的中點時，求點到面的距離；
（Ⅲ）等于何值時，二面角的大小為

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

本小題主要考查向量語言表述線線的垂直、平行關系、點到平面的距離和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．
（1）建立如圖的坐標系，則

DA1

=(1，0，1)，設E（1，t，0），則

D1E

=(1，t，-1)，通過向量的數量積為0，計算可得D₁E⊥A₁D；
（2）當E為AB的中點時，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，求出平面ACD₁的一個法向量，最后利用點到面的距離公式即可求點E到面ACD₁的距離．
（3）（2）連接DE，根據等腰直角三角形的性質，及線面垂直的判定和性質，可得DE⊥EC，D₁E⊥EC，進而由∠D₁ED即為二面角D₁-EC-D的平面角，解三角形D₁ED即可得到二面角D₁-EC-D的大小；
解：以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則
（Ⅰ）       ………4分
（Ⅱ）因為為的中點，則，從而，
，設平面的法向量為，則
也即，得，從而，所以點到平面的距離為           ………8分
（Ⅲ）設平面的法向量，
∴
由 令，
∴
依題意
∴（不合，舍去），  
∴時，二面角的大小為       ………12分