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點A、B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1長軸的左、右焦點，點F是橢圓的右焦點．點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
（1）求P點的坐標；
（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．
（1）由已知可得點A（-6，0），F（4，0），設點P（x，y），則
AP
=（x+6，y），
FP
=（x-4，y）．
由已知可得
x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0
，2x2+9x-18=0，解得x=
3
2
，或x=-6．
由于y＞0，只能x=
3
2
，于是y=
5
3
2
．∴點P的坐標是（
3
2
，
5
3
2
）．
（2）直線AP的方程是
y-0
5
3
2
-0
=
x+6
3
2
+6
，即x-
3
y+6=0．
設點M（m，0），則M到直線AP的距離是
|m+6|
2
．
于是
|m+6|
2
=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故點M（2，0）．
設橢圓上的點（x，y）到點M的距離為d，有 d2=（x-2）2+y2 =x2-4x+4+20-
5
9
x2 =
4
9
（x-
9
2
）2+15，
∴當x=
9
2
時，d取得最小值
15
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示：橢圓的中心為O，F為焦點，A為頂點，準線L交OA的延長線于B，P、Q在橢圓上，且PD⊥L于D，QF⊥OA于F，橢圓的離心率為e，給出下列結論：
①e=
|PF|
|PD|
；②e=
|QF|
|BF|
；③e=
|AO|
|BO|
；④e=
|AF|
|PF|
；⑤e=
|FO|
|AO|

其中正確命題的序號是______（寫出所有正確命題的序號）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知動點P在橢圓
x2
25
+
y2
16
=1上，若A點坐標為（3，0），且|
AM
|=1，且
PM
•
AM
=0，則|
PM
|的最小值是（　　）
A．
2
B．
3
C．2D．3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1，F2且它們在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，雙曲線的離心率的取值范圍為（1，2），則該橢圓的離心率的取值范圍是（　　）
A．（0，
1
3
）		B．（
1
3
，
1
2
）		C．（
1
3
，
2
5
）		D．（
2
5
，1）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的兩焦點為F1，F2，點P是橢圓內部的一點，則|PF1|+|PF2|的取值范圍為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設AB是橢圓的長軸，點C在橢圓上，且∠CBA=
π
4
．若AB=4，BC=
2
，則橢圓的焦距為（　　）
A．
3
3
B．
2
6
3
C．
4
6
3
D．
2
3
3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

過橢圓
x2
2
+
y2
3
=1的下焦點，且與圓x2+y2-3x+y+
3
2
=0相切的直線的斜率是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點為F，C為橢圓短軸上的端點，向量
FC
繞F點順時針旋轉90°后得到向量
FC′
，其中C′點恰好落在橢圓右準線上，則該橢圓的離心率為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的焦點在x軸上，一個頂點的坐標是（0，1），離心率等于
2
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求證：λ1+λ2為定值．

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