Question

寫出下列函數的單調增區間：

(1)y＝3sin(2x－)；(2)y＝2cos(2x＋)；(3)y＝log_i[sin(2x＋)]．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：應用正、余弦函數的單調性．(1)設z＝2x－，則y＝sinz在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函數，即2x－∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．由此可寫出x的范圍；(2)與(1)類似；(3)根據復合函數同增異減的原則進行求解． 　　解：(1)設z＝2x－，則y＝sinz在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函數， 　　即2x－∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)． 　　由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 　　得－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)， 　　即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 　　所以，函數y＝3sin(2x－)的單調增區間為[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)． 　　(2)由－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ(k∈Z)， 　　即－＋kπ≤x≤－＋kπ(k∈Z)． 　　所以，函數y＝2cos(2x＋)的單調增區間為[－＋kπ，－＋kπ](k∈Z)． 　　(3)設u＝sin(2x＋)，由y＝log2u是增函數，可知y＝log2[sin(2x＋)]的增區間就是u＝sin(2x＋)(u＞0)的增區間． 　　由y＝sinx(y＞0)的圖象，可知y＝sinx(y＞0)的增區間為(2kπ，2kπ＋](k∈Z)，因此，對于u＝sin(2x＋)(u＞0)有 　　2kπ＜2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即－＋2kπ＜2x≤2kπ＋(k∈Z)． 　　所以－＋kπ＜x≤kπ＋(k∈Z)． 　　所以，函數y＝log2[sin(2x＋)]的單調增區間為(－＋kπ，kπ＋](k∈Z)． 　　方法歸納：本題的關鍵在于轉化思想的應用，使用了整體換元法．函數的單調性是函數在定義域內的某個區間上的性質，因此，要求函數的單調區間，應首先求函數的定義域．此外，函數的單調區間應寫成區間的形式．