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設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(t∈R，t>0).

(1)求f(x)的最小值s(t)；

(2)若s(t)<－2t＋m對于t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(1)∵f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1＝t(x＋t)2－t3＋t－1(t∈R，t>0)，

∴當(dāng)x＝－t時(shí)，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，

即s(t)＝－t3＋t－1.

(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m.

由h′(t)＝－3t2＋3＝0.

得t＝1或t＝－1(舍去)，則有

t

(0,1)

1

(1,2)

h′(t)

＋

0

－

h(t)

極大值

∴h(t)在(0,2)內(nèi)有最大值1－m，

∴s(t)<－2t＋m對于t∈(0,2)恒成立等價(jià)于h(t)<0恒成立，即1－m<0，∴m>1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004全國各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學(xué) 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝(a、b、c∈N)，f(2)＝2，f(3)＜3且f(x)的圖像按向量e＝(－1，0)平移后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱．

(Ⅰ)求a，b，c的值；

(Ⅱ)設(shè)0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，

求證：|t＋x|＋|t－x|＜|f(tx＋1)|；

(Ⅲ)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，

求證：[f(x＋1)]n－f(xn＋1)≥2n－2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黃岡新內(nèi)參·高考（專題）模擬測試卷·數(shù)學(xué) 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝(a、b、c∈N)，f(2)＝2，f(3)＜3且f(x)的圖像按向量e＝(－1，0)平移后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱．

(Ⅰ)求a、b、c的值；

(Ⅱ)設(shè)0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求證：|t＋x|＋|t－x|＜|f(tx＋1)|；

(Ⅲ)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：－f(＋1)≥－2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川眉山市高中2007屆第二次診斷考試、數(shù)學(xué)(理科) 題型：044

已知關(guān)于x的方程2x2－tx－2＝0的兩個(gè)根為，β(＜β)，tR，設(shè)函數(shù)f(x)＝

①判斷f(x)在[，β]上的單調(diào)性；

②若＜m＜β，＜n＜β，證明|f(m)－f(n)|＜2|－β|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省內(nèi)江六中2010屆高三第四次月考、文科數(shù)學(xué)試卷 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝(a，b，c∈N)，且f(2)＝2，f(3)＜3，且f(x)的圖像按向量＝(－1，0)平移后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱．

(1)求a，b，c的值；

(2)設(shè)0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求證不等式|t＋x|－|t－x|＜|f(tx＋1)|；

(3)已知x＞0，n∈N*，求證不等式[f(x＋1)]n－f(xn＋1)≥2n－2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年湖北武漢市高三2月調(diào)研測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（1）已知函數(shù)f(x)＝ex－1－tx，?x0∈R，使f(x0)≤0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

（2）證明：＜ln＜，其中0＜a＜b；

（3）設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，證明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）．

 

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