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已知{an}是各項都為正數的等比數列,數列{bn}滿足bn=［lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)］，問是否存在正數k,使得{bn}成等差數列？若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

k=1時,{bn}成等差數列.


解析:

假設存在正數k,使得{bn}成等差數列.

設數列{an}的公比為q,則an=a1qn-1.

而bn=［lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)］

=lg(ka1·a2·a3·…·an)

=lg(k·a1n·)

=lga1+(n-1)lg+lg.

∴bn+1-bn=(lga1+nlg+lg)-［lga1+(n-1)lg+lg］

=lg+lg-lg.

若{bn}為等差數列,當且僅當lg-lg=0,

即lg=lg,=,

∴k=1.

因此當k=1時,{bn}成等差數列.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知{an}是各項都為正數的數列，其前n項和為Sn，且滿足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）令Tn=
1
S
2
1
+
1
2
S
2
2
+…+
1
nS
2
n
，求證Tn≤
2n-1
n
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知{an}是各項都為正數的數列，其前n項和為Sn，且滿足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）證明{Sn2}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）求數列{
1
S
2
n
S
2
n+1
}的前n項和．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•重慶模擬）已知{an}是各項都為正數的數列，Sn為其前n項的和，且a1=1，Sn=
1
2
(an+
1
an
)．
（I）分別求S22，S32的值；
（II）求數列{an}的通項an；
（III）求證：
1
2S1
+
1
3S2
+…+
1
(n+1)Sn
＜2(1-
1
Sn+1
)．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知{an}是各項都為正數的數列，其前n項和為Sn，且滿足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）證明{Sn2}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）求數列數學公式的前n項和．

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