Question

已知函數f(x)＝x³－3ax²＋3x＋1.
(1)設a＝2，求f(x)的單調區間；
(2)設f(x)在區間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)的遞增區間是(－∞，2－)與(2＋，＋∞)；
f(x)的遞減區間是(2－，2＋)
（2）

(1)當a＝2時，f(x)＝x³－6x²＋3x＋1.
f′(x)＝3x²－12x＋3
＝3(x²－4x＋1)
＝3(x－2＋)(x－2－)．
當x＜2－，或x＞2＋時，得f′(x)＞0；
當2－＜x＜2＋時，得f′(x)＜0.
因此f(x)的遞增區間是(－∞，2－)與(2＋，＋∞)；
f(x)的遞減區間是(2－，2＋)．
(2)f′(x)＝3x²－6ax＋3，
Δ＝36a²－36，由Δ＞0得，a＞1或a＜－1，又x₁x₂＝1，
可知f′(2)＜0，且f′(3)＞0，
解得＜a＜，
因此a的取值范圍是.