Question

如圖，在三棱錐中，，，側面為等邊三角形，側棱．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）證明略

（Ⅱ）證明略

（Ⅲ）

【解析】解：（Ⅰ）設中點為，連結，，………… 1分

∵，所以.

又，所以.   ………………… 2分

∵，所以平面.

∵平面，所以.   ……… 4分

（Ⅱ）由已知，，

∴，.

又為正三角形，且，∴. …………………… 6分

∵，所以.

∴.

由（Ⅰ）知是二面角的平面角.

∴平面平面.        …………………………………………… 8分

（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面.

過作于，連結，則.

∴是二面角的平面角. ………………………………… 10分

在中，易求得.

∵，所以.   ………………………… 12分

∴.

即二面角的余弦值為.   …………………………………… 13分

方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，兩兩垂直.      ……………………… 9分

以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.

易知，，，.

∴，.   ……………………… 10分

設平面的法向量為，

則 即

令，則，.

∴平面的一個法向量為.    ……………………… 11分

易知平面的一個法向量為.

∴.  …………………………………… 12分

由圖可知，二面角為銳角.

∴二面角的余弦值為.  …………………………………… 13分