Question

(本題滿分14分)        

已知函數處取得極值為2．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）若函數在區間上為增函數，求實數m的取值范圍；

（Ⅲ）若圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ．（Ⅱ）．

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。利用已知條件得到參數關系式得到解析式，以及根據函數的遞增性質，得到參數的范圍。以及直線與曲線相切的直線斜率的范圍。

（1）根據函數處取得極值為2．，那么求函數的解析式；

（Ⅱ）若函數在區間上為增函數，則可知導函數在給定區間恒大于等于零，分離參數的思想得到，實數m的取值范圍；

（Ⅲ）因為圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，利用導數的幾何意義得到，直線l的斜率的取值范圍．

解：（Ⅰ）已知函數，∴

又函數處取值極值2，   ∴

即      ∴ ．      …………………… 5分

（Ⅱ）∵，得

所以的單調增區間為[，1]．

因函數上單調遞增，        則有，

解得上為增函數．  ………………… 9分

（Ⅲ）∵，∴．

直線l的斜率,

即, 則

從而得k的取值范圍是．                     ……………………… 14分