Question

（1）設(shè)，試比較與的大小；
（2）是否存在常數(shù)，使得對(duì)任意大于的自然數(shù)都成立？若存在，試求出的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），利用放縮法證明

試題分析：（Ⅰ）設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
故函數(shù)有最小值，則恒成立      4 分
（Ⅱ）取進(jìn)行驗(yàn)算：




猜測(cè)：①，
②存在，使得恒成立。        6分
證明一：對(duì)，且，
有





又因，
故                  8分
從而有成立，即
所以存在，使得恒成立              10分
證明二：
由（1）知：當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，
則，所以，，，
當(dāng)時(shí)，再由二項(xiàng)式定理得：

即對(duì)任意大于的自然數(shù)恒成立，          8分
從而有成立，即
所以存在，使得恒成立              10分
點(diǎn)評(píng)：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法。在證明時(shí),關(guān)鍵在于分析待證不等式的結(jié)構(gòu)與特征,選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄍ瓿刹坏仁降淖C明