Question

（2007•長寧區一模）某公司生產一種產品，每年投入固定成本0.5萬元，此外，每生產1件這種產品還需要增加投入25元，經測算，市場對該產品的年需求量為500件，且當出售的這種產品的數量為t（單位：百件）時，銷售所得的收入約為5t-

1

2

t2（萬元）．
（1）若該公司這種產品的年產量為x（單位：百件）．試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤y表示為年產量x的函數；
（2）當該公司的年產量x多大時，當年所得利潤y最大？

Answer 1

分析：（1）由已知中某公司生產一種產品，每年投入固定成本0.5萬元，此外，每生產1件這種產品還需要增加投入25元，經測算，市場對該產品的年需求量為500件，且當出售的這種產品的數量為t（單位：百件）時，銷售所得的收入約為5t-

1

2

t2（萬元）．根據年利潤=銷售額-成立，構造出該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤y表示為年產量x的函數．
（2）根據（1）的分段函數解析式，我們分別求出各段上函數的最大值，進而得到該公司當年所得利潤y的最大值，及相應的生產量．

解答：解：（1）由題意得：
y=

(5x- 1 2 x2)-0.5-0.25x，0＜x≤5 (5×5- 1 2 ×52)-0.5-0.25x，x＞5

=

- 1 2 x2+ 19 4 x- 1 2 ，0＜x≤5 - 1 4 x+12，x＞5

（6分）
（2）當0＜x≤5時，函數對稱軸為x=

19

4

=4.75∈(0，5)，
故x=4.75時y最大值為

345

32

．                                 （3分）
當x＞5時，函數單調遞減，故y＜-

5

4

+12=

43

4

＜

345

32

，（3分）
所以當年產量為475件時所得利潤最大．                     （2分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，函數的值域，分段函數的解析式求法，二次函數的性質，其中（1）中要注意由于市場對該產品的年需求量為500件，故要分0＜x≤5，x＞5兩種情況將問題轉化為分段函數模型，（2）要注意分段函數最值，分段處理．