Question

（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求證：

a2

b

+

b2

a

≥a+b；
（Ⅱ）求函數y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）【證法1】：作差比較法，作差再進行因式分解，與0比較即可得到結論；
【證法2】：綜合法，利用基本不等式進行專門；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論函數y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥（1-x）+x=1，即可求得函數y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

(0＜x＜1)的最小值．

解答：（Ⅰ）【證法1】：∵

a2

b

+

b2

a

-(a+b)=

a3+b3-a2b-ab2

ab

=

a3-a2b-(ab2-b3)

ab

=

a2(a-b)-b2(a-b)

ab

=

(a-b)2(a+b)

ab

∵a＞0，b＞0，∴

(a-b)2(a+b)

ab

≥0，當且僅當a=b時等號成立．
∴

a2

b

+

b2

a

≥a+b
【證法2】：∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(

a2

b

+

b2

a

)=a2+b2+

a3

b

+

b3

a

≥a2+b2+2ab=(a+b)2
∴

a2

b

+

b2

a

≥a+b，當且僅當a=b時等號成立．
（Ⅱ）解：∵0＜x＜1，∴1-x＞0，由（Ⅰ）的結論
函數y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥（1-x）+x=1，當且僅當1-x=x即x=

1

2

時等號成立，
∴函數y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

(0＜x＜1)的最小值為1．

點評：本題考查不等式的證明，考查利用基本不等式求函數的最值，解題式掌握不等式的證明方法是關鍵．