Question

（本題滿分12分）
設函數（a＞0，b，cÎR），曲線在點P(0，f (0))處的切線方程為．
（Ⅰ）試確定b、c的值；
（Ⅱ）是否存在實數a使得過點（0，2）可作曲線的三條不同切線，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）當時，過點（0，2）可作曲線的三條不同切線．

試題分析：（Ⅰ）由得，
，        ……2分
又由曲線在點P(0，)處的切線方程為，得，
，故．……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
設存在實數a使得過點（0，2）可作曲線的三條不同切線，并設切點為．
則切線的斜率為，
切線方程為，．
∵切線過點（0，2），∴．
于是得，              （*）                  ……6分
由已知過點（0，2）可作曲線的三條不同切線，則方程（*）應有三個不同實數根．
令，則．
令，得或．……8分
由于，所以函數在區間上為增函數，在區間上為減函數，在區間為增函數，所以函數在處取極大值，在處取極小值．
要使方程（*）有三個不同實數根，，得．……11分
綜上所述，當時，過點（0，2）可作曲線的三條不同切線．……12分
注：如有其它解法，斟情給分．
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）作為存在性問題，先假定存在實數a使得過點（0，2）可作曲線的三條不同切線，通過研究函數的單調性，認識函數特征，轉化成只需使方程有三個不同實數根，得到a的不等式。