Question

（05年全國卷Ⅰ理）（12分）

（Ⅰ）設函數，求的最小值；

（Ⅱ）設正數滿足，證明：

      

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：對函數求導數：

  

于是

當在區間是減函數，

當在區間是增函數.

所以時取得最小值，，

（Ⅱ）證法一：用數學歸納法證明.

（i）當n=1時，由（Ⅰ）知命題成立.

（ii）假定當時命題成立，即若正數，

則

當時，若正數

令

則為正數，且

由歸納假定知

        ①

同理，由可得

    ②

綜合①、②兩式

即當時命題也成立.

根據（i）、（ii）可知對一切正整數n命題成立.

證法二：

令函數

利用（Ⅰ）知，當

 

對任意

                     .  ①

下面用數學歸納法證明結論.

（i）當n=1時，由（I）知命題成立.

（ii）設當n=k時命題成立，即若正數

 

由①得到

      由歸納法假設

     

      

      即當時命題也成立.

      所以對一切正整數n命題成立.