Question

已知函數f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）當a=

1

4

時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：(1+

2

2×3

)×(1+

4

3×5

)×(1+

8

5×9

)…(1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

)＜e（其中，n∈N^*，e是自然對數的底數）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，由導數的正負可得函數的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，等價于ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，設g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，分類討論，可求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）據（Ⅱ）知當a=0時，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用裂項法，結合對數的運算法則，可證結論

解答：解：（Ⅰ）當a=

1

4

時，f（x）=

1

4

x²+ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=

1

2

x+

1

x+1

=

x2+x+2

2(x+1)

（x＞-1），
∵x＞-1，x²+x+2=(x+

1

2

)2+

7

4

＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-1，+∞）．
（Ⅱ）∵當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
設g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．
由g′（x）=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
（ⅰ）當a=0時，
g′（x）=-

x

x+1

（x＞-1），
當x＞0時，g′（x）＜0，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（0）=0成立．
（ⅱ）當a＞0時，
由g′（x）=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，
∵x∈[0，+∞），
∴x=

1

2a

-1，
①若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

時，在區間（0，+∞）上，g′（x）＞0，則函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
g（x）在[0，+∞）上無最大值（或：當x→+∞時，g（x）→+∞），此時不滿足條件；
②若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

時，函數g（x）在（0，

1

2a

-1）上單調遞減，在區間（

1

2a

-1，+∞）上單調遞增，同樣g（x）在[0，+∞）上無最大值，不滿足條件．
（ⅲ）當a＜0時，g′（x）=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g′（x）＜0，故函數g（x）在[0，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（0）=0成立．
綜上所述，實數a的取值范圍是（-∞，0]．
（Ⅲ）證明：據（Ⅱ）知當a=0時，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，
又

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），
∵ln{（1+

2

2×3

）•（1+

4

3×5

）•（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]
＜

2

2×3

+

4

3×5

+

8

5×9

+…+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）]
=2（

1

2

-

1

2n+1

）＜1，
∵ln{（1+

2

2×3

）•（1+

4

3×5

）•（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln（1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

）
＜

2

2×3

+

4

3×5

+

8

5×9

+…+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）]
=2（

1

2

-

1

2n+1

）＜1，
∴（1+

2

2×3

）•（1+

4

3×5

）•（1+

8

5×9

）•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，考查分類討論的數學思想，屬于難題．