Question

已知函數．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若，求在區間上的最大值；
（III）設函數，（），試討論函數與圖象交點的個數

Answer 1

（Ⅰ）∵，其定義域為．          1分
∴．                  （2分）
∵，∴當時，；當時，．
故函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是．        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是．
當時，在區間上單調遞增，的最大值；
當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減，則在處取得極大值，也即該函數在上的最大值，此時的最大值；
∴在區間上的最大值…………………（8分）
（Ⅲ）討論函數與圖象交點的個數，即討論方程在上根的個數．
該方程為，即．
只需討論方程在上根的個數， ……………………（9分）
令，．
因，，令，得，
當時,；當時,． ∴，
當時,； 當時,， 但此時，且以軸為漸近線．
如圖構造的圖象，并作出函數的圖象．
①當即時，方程無根，沒有公共點；
②當即時，方程只有一個根，有一個公共點；
③當即時，方程有兩個根，有兩個公共點．

(I)直接求導，根據導數大于零和小于零，求其增減區間即可.
（II）在第（I）問的基礎上對a進行討論求極值，最值.
（III）可以構造函數,然后利用導數研究其圖像特征，作出草圖，然后數形結合求解.