Question

在平面直角坐標系中，已知過點的橢圓：的右焦點為，過焦點且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點，點關于坐標原點的對稱點為，直線，分別交橢圓的右準線于，兩點.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點的坐標為，試求直線的方程；
（3）記，兩點的縱坐標分別為，，試問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

（1），（2），（3）.

解析試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數法.關鍵是找全所需條件. 橢圓中三個未知數的確定只需兩個獨立條件，根據橢圓定義：點到兩個焦點距離和為，求出的值，再由求出的值，就可得到橢圓的標準方程（2）由點關于坐標原點的對稱點為，可直接寫出點坐標；又由點及，可得直線方程，再由方程與橢圓方程解出A點坐標，根據兩點式就可寫出直線的方程，（3）直線與橢圓位置關系問題就要從其位置關系出發，先根據直線AB垂直軸的特殊情況下探求的值，再利用點共線及點在橢圓上條件，逐步消元，直到定值.本題難點在如何利用條件消去參數. 點共線可得到坐標關系，而利用點差法得到斜率關系是解決本題的關鍵.
試題解析：（1）由題意，得，即，  2分
又，，橢圓的標準方程為.              5分
（2），，又， ，
直線：，                       7分
聯立方程組，解得，            9分
直線：，即.          10分
（3）當不存在時，易得,
當存在時，設，，則，
，，兩式相減， 得，
，令，則， 12分
直線方程：，，
，直線方程：，，  14分
，又，