Question

函數f(x)對任意的實數m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且當x＞0時有f(x)＞0.
（1）求證：f(x)在（-∞,+∞)上為增函數；
（2）若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.

Answer 1

（1）證明見解析（2）不等式的解集為{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3

（1）證明 設x₂＞x₁,則x₂-x₁＞0.
∵f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁+x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)＞0,
∴f(x₂)＞f(x₁),f(x)在（-∞,+∞)上為增函數.
（2）解 ∵f(1)=1,∴2="1+1=f(1)+f(1)=f(2)."
又f［log₂(x²-x-2)］＜2,∴f［log₂(x²-x-2)］＜f(2).
∴log₂(x²-x-2)＜2,于是∴
即-2＜x＜-1或2＜x＜3.∴原不等式的解集為{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}.