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已知兩個正數x，y滿足x+y=4，則使不等式
1
x
+
4
y
≥m恒成立的實數m的范圍是 ______．
由題意知兩個正數x，y滿足x+y=4，
則
1
x
+
4
y
=
x+y
4x
+
x+y
y
=
5
4
+
y
4x
+
x
y
≥
5
4
+1=
9
4
，當
y
4x
=
x
y
時取等號；
∴
1
x
+
4
y
的最小值是
9
4
，
∵不等式
1
x
+
4
y
≥m恒成立，∴m≤
9
4
．
故答案為：m≤
9
4
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個正數x，y滿足x+y=4，則使不等式
1
x
+
4
y
≥m恒成立的實數m的范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于問題：“已知兩個正數x，y滿足x+y=2，求
1
x
+
4
y
的最小值”，給出如下一種解法：
Qx+y=2，∴
1
x
+
4
y
=
1
2
(x+y)(
1
x
+
4
y
)=
1
2
(5+
y
x
+
4x
y
)，
Qx＞0，y＞0，∴
y
x
+
4x
y
≥2
y
x
•
4x
y
=4，∴
1
x
+
4
y
≥
1
2
(5+4)=
9
2
，
當且僅當
y
x
=
4x
y
x+y=2
，即
x=
2
3
y=
4
3
時，
1
x
+
4
y
取最小值
9
2
．
參考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三個內角，則
1
A
+
9
B+C
的最小值為
16
π
16
π
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•重慶一模）已知兩個正數x，y滿足x+4y+5=xy，則xy取最小值時x，y的值分別為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個正數x，y滿足x+4y+5=xy，則xy取最小值時x，y的值分別為
10
10
，
5
2
5
2
．

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科目：高中數學 來源：《不等式》2013年高三一輪復習訓練（烏魯木齊101中學）（解析版） 題型：填空題

已知兩個正數x，y滿足x+y=4，則使不等式恒成立的實數m的范圍是     ．

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