Question

若非零實數m、n滿足2m+n=0，且在二項式（ax^m+bxⁿ）¹²（a＞0，b＞0）的展開式中當且僅當常數項是系數最大的項，
（1）求常數項是第幾項；
（2）求

a

b

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出通項T_r+1=C₁₂^ra^12-r b^r x^{m（12-r）+nr}，由

m(12-r)+nr=0 2m+n=0，m≠0，n≠0

，求出r=4，得常數項是第5項．
（2）由只有常數項為最大項且a＞0，b＞0，可得

C 4 12 a8b4＞ C 5 12 a7b5 C 4 12 a8b4＞ C 3 12 a9b3

，由此求得

a

b

的取值范圍．

解答：解：（1）設T_r+1=C₁₂^r（ax^m）^12-r（bxⁿ）^r為=C₁₂^ra^12-r b^r x^{m（12-r）+nr}為常數項，------（1分）
則可由

m(12-r)+nr=0 2m+n=0，m≠0，n≠0

，--（3分）
解得 r=4，------（5分） 所以常數項是第5項…（7分）
（2）由只有常數項為最大項且a＞0，b＞0，可得

C 4 12 a8b4＞ C 5 12 a7b5 C 4 12 a8b4＞ C 3 12 a9b3

，-----（10分）
即

12！•a8•b4

4!•8!

＞

12!•a7•b5

5!•7!

，且

12！•a8•b4

4!•8!

＞

12!•a9•b3

3!•9!

．
即5a＞8b，且 9b＞4a，再由a＞0，b＞0 解得

a

b

＞

5

8

 且

a

b

＜

9

4

，
解得

9

4

＞

a

b

＞

8

5

．-----（12分）

點評：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．